
By Christian Karpfinger
In diesem Arbeitsbuch stellen wir die rund 450 Aufgaben und Lösungen des Lehrbuchs Höhere Mathematik in Rezepten des gleichen Autors zusammen.
Sie haben die Gelegenheit, die Rezepte des Rezeptebuchs zum Lösen typischer Aufgabenstellungen der Höheren Mathematik bei vielen Beispielen anzuwenden. Wir bieten auch zahlreiche Aufgaben zum Nachdenken und Knobeln an, die das tiefere Verständnis für Mathematik fördern. Nicht zuletzt findet guy auch einige Programmieraufgaben, mit deren Lösungen Sie in der Lage sind, zahlreiche Aufgabenstellungen zu bearbeiten, mit denen Sie im Laufe Ihres Studiums bzw. Berufslebens konfrontiert sein werden.
Behandelt werden alle Themen, die üblicherweise in vier Semestern Höhere Mathematik unterrichtet werden. Im Einzelnen sind dies research einer und mehrerer Variabler, lineare Algebra, Vektoranalysis, Differenzialgleichungen (gewöhnliche und partielle), Integraltransformationen und Funktionentheorie.
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Und Division der beiden Gleichungen liefert b R sin(ϕ) = = tan(ϕ) . 1 Begründen Sie: Ist z ∈ C Nullstelle eines reellen Polynoms p = an xn +. +a1 x+a0 mit a0 , . . , an ∈ R, so auch z ∈ C. 2 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil sowie die Beträge von (a) (2 − i)(1 + 2 i), (b) 50−25 i , −2+11 i (c) (1 + i √ 2 3) , (d) i99 + i100 +2 i101 −2 . 3 Bestimmen Sie die Nullstellen von p = z 3 + 4z 2 + 8z. 4 Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen jeweils in der Form a + b i mit a, b ∈ R dar: (a) (1 + 4 i) · (2 − 3 i), (b) 4 , 2+i (c) 2009 n n=0 i .
B) Wir erweitern mit dem Komplexkonjugierten des Nenners und erhalten: −100 + 50 i −550 i −275 50 − 25 i −2 − 11 i · = = −3 − 4 i . −2 + 11 i −2 − 11 i 125 z= Entsprechend ist Re(z) = −3, Im(z) = −4 und damit wiederum |z| = 5. (c) Wir können die erste Binomische Formel verwenden: z = (1 + i √ √ √ √ 2 3) = 1 + 2 3 i +3 i2 = 1 − 3 + 2 3 i = −2 + 2 3 i . √ √ Wir können ablesen: Re(z) = −2, Im(z) = 2 3 und |z| = 4 + 12 = 4 . (d) Zuerst betrachten wir Potenzen von i. Es gilt: i2 = −1, i3 = − i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = − i, i8 = 1, .
1 Begründen Sie das Invertierbarkeitskriterium für Matrizen von Seite 101 (Rezeptebuch). 2 Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎛ ⎞ 1 3 −1 1 ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ −1 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ −2 −5 2 1 ⎟ ⎜ 1 2 ⎜ ⎟, ⎜ ⎝ ⎠, ⎜ 1 , ⎟ 0 −7 ⎜ ⎝ ⎠ ⎜ 3 4 2 −2 ⎟ −2 −5 ⎜ ⎠ ⎝ ⎜ 2 −3 5 ⎝ −4 2 −8 1 ⎞ 1 2 0 0 1 1 0 0 7 8 2 3 1 2 0 3 2 1 0 1 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ ⎟ 3 ⎟ ⎟. 3 Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass für A, B, C, D ∈ Rn×n im Allgemeinen gilt ⎛ ⎞ A B ⎠ = det A det D − det B det C . 4 Bestimmen Sie die Determinante der folgenden Tridiagonalmatrizen ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜i ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜.